회전하는 팽이는 어떻게 중력을 극복하고 넘어지지 않을까?

회전하지 않는 팽이는 세워놓으면 넘어진다. 팽이에 작용하는 중력이 균형을 이루지 못하고 한 쪽의 중력이 더 크기 때문이다. 그리고 팽이가 회전하더라도 각 질점에 작용하는 중력의 크기는 정지하고 있을 때와 똑같고, 팽이에 작용하는 외력은 여전히 중력 외에는 없다. 그렇다면 팽이가 회전하더라도 여전히 중력이 더 크게 작용하는 쪽이 계속 아래로 내려가야되고 나선형을 그리면서 넘어져야 한다. 느리게 회전하는 팽이는 무거운 쪽이 나선형을 그리면서 아래로 내려가서 넘어진다. 그런데 왜 빠르게 회전하는 팽이는 넘어지지 않을까? 팽이가 빨리 회전하거나 느리게 회전해도 팽이에 작용하는 중력의 크기는 변하지 않는데 왜 나타나는 현상은 다를까?

팽이가 돌아가는 원리를 상호작용성의 관계로 설명을 해보자. 표면이 둥근 지구는 자전속도로 회전하고 있다. 회전하는 지구의 표면에서 뾰족한 역삼각형 모양의 팽이가 외부의 도움 없이 넘어지지 않고 수직으로 서 있으려면 2가지 방법이 있다. 팽이를 거꾸로 뒤집어서 넓은 면이 둥근 지구 표면과 마주보게 하면 넘어지지 않는다. 물론 팽이의 본질적 기능은 상실한다. 다음은 뾰족한 침이 표면과 마주보게 하되 팽이를 일정한 속도 이상으로 회전시키면 팽이는 넘어지지 않고 회전하게 된다. 팽이가 각운동량보존법칙에 의해 중력이 작용하더라도 넘어지지 않고 회전력에 의해 수직으로 서 있는 원리이다. 그러다 팽이의 회전속도가 일정한 값 이하로 떨어지면 수직력이 기울어지면서 넘어지게 된다.

팽이는 외력을 가해야만 회전하며 돌아간다. 팽이를 돌아가게 하는 힘은 전적으로 외력이며, 돌아가는 팽이가 넘어지지 않는 것은 회전력이 확보한 수직력 때문이다. 이때 팽이에 가해지는 수직력은 중력을 거스르는 힘이 되므로 물리용어로는 수직항력이 된다. 이수직항력은 회전력과 비례한다. 회전력이 강하면 수직항력도 강하여 서 있는 힘이 세고, 회전력이 약하면 수직항력도 약해져서 일정의 값 이하가 되면 팽이가 가진 수직항력이 중력보다 모자라서 넘어진다.

좀 더 전문적이 용어를 사용하여 설명하면 각운동량보존법칙을 만족시키기 위해 팽이의 회전축이 크기와 회전속도에 따라 넘어지기도 하고, 계속 회전하기도 하는 현상으로 볼 수 있다.

각운동량, 즉 회전운동량은 보전되는 것이 원칙인데 여기서는 질량 요소인 회전축과 회전관성, 그리고 각속도가 변수로 작용한다. 각속도인 회전속도가 빠르면 회전관성이 커지는데 이 커진 값이 중력보다 강하면 팽이는 넘어지지 않으며, 팽이가 돌아가는 회전관성이 중력보다 약하면 넘어진다.

이상이 뉴턴역학을 적용한 고전역학 방식의 설명이다. 그런데 뉴턴의 고전역학법칙에 오류가 있음을 발견하여 이를 대체한 것이 아인슈타인의 상대성이론이고, 상대성이론을 바탕으로 많은 과학자들이 협력하여  완성해 놓은 것이 양자역학이다. 그렇다면 팽이가 빠르게 돌면 넘어지지 않는 이유를 상대성이론과 양자역학으로도 설명이 가능해야 할 것이다.

우선 상대성이론의 공변과 반변 원리를 통해 팽이가 일정수준 이상 회전하면 넘어지지 않는 이유를 설명해 보면 상대성이론에서는 거시세계의 원리가 작동하므로, 거시적 관점에서 팽이가 지구라는 구면체 위에서 돌아가는 현상을 상상해보자. 팽이를 거대한 크기로 확대하여 적용해 보면, 팽이모양 행성이 지구라는 행성과 맛 붙어서 돌고 있는 형국을 상상할 수 있을 것이다. 이를 위상수학을 이용하여 도형모양으로 나타내면 삼각형 모양의 팽이와 원 모양의 지구가 맛 붙어서 돌아가는 도형 그림이 나올 것이다.

지구는 저절로 회전하는 물체이고 팽이는 외력이 가해져야 회전하는 물체이다. 상대성이론에서 회전하는 물체를 더 잘 돌아가게 하는 물리력을 수학으로 풀이하는 것이 공변벡터이다.

이를 줄여서 보통 공변이라고 한다. 반면에 회전하지 못하도록 방해하는 물리력은 반변벡터라하며 줄여서 반변이라고 한다. 그런데 여기서 거꾸로 회전하지 못하도록 하는 힘이 공변이며, 더 잘 회전하도록 가해지는 외력이 반변이 될 수도 있다. 이는 회전력이 아닌 중력 입장에서는 팽이가 회전을 하지 못하게 하는 것이 중력과 같은 공변벡터 방향에 놓이기 때문이다.

상대성이론의 공변과 반변의 원리로 팽이가 중력을 극복하여 넘어지지 않고 계속 돌아가게 하려면, 돌아가는 회전력에 공변하는 외력을 가중시킴으로써 가능하다. 반대로 회전력이 떨어지면 팽이가 넘어지지 이유는 팽이에 중력이 작용하고 있는데, 수직방향으로 공변시키기 때문에 중력질량의 영향을 받아 무게중심에 의해 팽이가 넘어져야만 하고, 지구자전에 흡수되어 지구와 같은 등속운동으로 전환하게 된다.

다음은 양자역학의 양자진동원리로 팽이가 회전하고 넘어지는 이유를 설명해보면, 양자역학은 미시세계인데, 태양계 밖에서 볼 때 태양계 내에서 일어나는 일들은 미시세계이다. 지구 위에서 돌아가는 팽이를 미시세계의 원리로 보기 위해 이번에는 지구의 크기를 팽이크기와 비슷하게 축소해 보자. 그리고 구형의 지구를 반으로 절단하여 반구위에 팽이를 올려놓아 보자. 이를 위상수학을 이용하여 도형모양으로 압축하면 결국은 두 개의 삼각형 꼭짓점끼리 맛붙여놓은 모래시계 모양으로 그림이 그려진다.

양자원리에 따르면 우주의 모든 물체는 진자운동을 하고 있다고 한다. 지구도, 지구위에서 돌아가는 팽이도 이 진자운동으로 설명할 수 있어야 한다. 이 진자운동에는 대체로 2가지가 있는데 하나는 공명진동이고 다른 하나는 비틀림진동이다. 회전하는 팽이를 팽이채를 이용하여 정확히 때려주는 외력은 팽이를 공명진동 시키는 것이다. 이때 공명작용을 일으키는 외력을 미시세계에 적용하면 전자기력이 되며, 파동으로는 전자기파가 된다. 반면에 중력에서 나오는 중력파는 공명작용을 거스르는 방향으로 작용하기 때문에 비틀림진동이 되는 것이다. 그런데 항상 전자기력보다 중력이 먼저 작동하기 때문에 공명진동이라는 외력이 일정수준 이하로 약해지면 중력에 의해 비틀림진동으로 전화하게 된다.

이로써 공명작용인 외력에 의한 회전력이 약해지면 팽이는 비틀거리며 넘어지게 되고 지구의 진동으로 흡수되는 것이다.